解法

最初から $N$ と $1$ の間がつながっていないとする。この場合は、 $X _ {i}$ と $X _ {i+1}$ の差の総和がそのまま答えになる。

これを初期値として、橋を切り離す位置を後ろにずらしながら差分更新していくことを考える。橋を切る位置が後ろに一つずれるというのは、 $1$ 番目の島が切り離されて $N+1$ 番目の島として後ろに接続されることと同じである。

なので、 $X _ {i}$ が $1$ であるような $i$ について、 $X _ {i-1}$ , $X _ {i+1}$ と $1$ の距離を、 $N + 1$ との距離に置き換えればよい。置き換えた後は、 $X _ {i}$ を $N + 1$ に置き換え、次の島を見ていく。
以後、頭の島は $2, 3, 4...$ と変化していくので、 $N$ までこれを繰り返すだけで良い。